Коротко о правиле. Частица «кое-» при присоединении к вопросительным или относительным словам (кто, что, как, где, когда, какой и т. п.) пишется через дефис и образует неопределённые местоимения или наречия: правильно «кое-что», «кое-кто», «кое-как», «кое-где» и т.д. Дефис сохраняется во всех падежных формах («кое-кого», «кое-чем», «кое-какими»).
Почему «кое-что», а не «кое что» — потому что это единое неопределённое слово со значением «нечто, некоторое (не называемое)».
Три контекста, где дефис обязателен (с примерами):
1) с местоимениями/наречиями: «кое-кто уже ушёл.»
2) с относительными/вопросительными словами в наречиях и указаниях места/времени: «кое-где видны следы весны», «кое-когда звучат аплодисменты».
3) в сочетаниях с частицей «-ка» (неопределённая оценка): «он сделал кое-какие выводы», «я получил кое-какую информацию».
(Дефис также сохраняется при склонении: «я видел кое-кого», «ему известно кое-чему».)