Нужна: «Я знаю, что он прав.» — запятая ставится, потому что «что» вводит изъяснительное придаточное (косвенную речь/содержимое высказывания).
Краткие правила и пояснения:
- Если „что“ вводит придаточное изъяснительное (отвечает на вопрос «что?» и поясняет содержание мысли/речи), то главное и придаточное отделяются запятой: пример — «Я думаю, что он придёт.» Если придаточное стоит перед главным, запятая всё равно ставится: «Что он прав, я знаю.»
- Прямая речь оформляется иначе (кавычки, двоеточие или тире): «Он сказал: «Он прав».» В косвенной речи кавычек нет, используется союз «что» и запятая.
- Исключения/особые случаи: если «что» входит в состав служебных сочетаний или фраз (например «что за», «что ни», «как только», «для того чтобы» и т.п.), пунктуация определяется правилами для этих сочетаний и может отличаться. Также встречаются вводные конструкции типа «что касается…», которые отделяются запятой по своим правилам.
- В разговорной речи иногда запятую опускают, но по норме литературного языка она нужна.
Итог: в предложении «Я знаю, что он прав.» запятая перед «что» обязательна.