Правильный вариант: «Он ушёл не то чтобы сердитый, но явно обиженный.»
Пояснения коротко и по делу:
1) Запятая перед «но» обязательна, потому что это противительный союз, соединяющий однородные именные части сказуемого: «(не то чтобы) сердитый, но явно обиженный».
2) Запятая перед «не то чтобы» не ставится в данном предложении, потому что «не то чтобы» здесь входит в структуру именной части сказуемого (выражает уступочную/ограничительную поправку к прилагательному) и не является вводным словом. Если же «не то чтобы …» употреблено вводно (вставной конструкцией), его можно обособить запятыми: «Он ушёл, не то чтобы сердитый, но явно обиженный.» — это стилистическая альтернатива.
3) Про причастный оборот: в данном примере «явно обиженный» выполняет роль именной части сказуемого (не причастного оборота), поэтому не обособляется. Причастный оборот (причастие с зависимыми словами), относящийся к существительному, обычно обособляется, если стоит после определяемого слова и носит характер добавочной (несущественной) информации: «Он, обиженный товарищами, ушёл.» Если же оборот непосредственно ограничивает или уточняет существительное и необходим для его идентификации, запятые не ставятся.