Кратко — деепричастный оборот «Прочитав письмо» здесь выполняет роль обстоятельства времени/предшествования, относится к подлежащему главного предложения и требует отделения запятой: «Прочитав письмо, она заперла шкаф и вышла.» Запятая обязательно ставится.
Возможные ошибки при несогласовании деятеля и деепричастия («висячее» или неправильное деепричастие):
- Подлежащее главного предложения не является исполнителем действия деепричастия, что даёт семантическую нелепость: неправильно — «Прочитав письмо, шкаф был заперт» (шкаф не мог прочитать); правильно — «Прочитав письмо, она заперла шкаф» или «После того как письмо было прочитано, шкаф был заперт».
- Несоответствие лица/падежа: деепричастие подразумевает одного деятеля (обычно тот же субъект, кто совершает действие главного глагола). Неправильно: «Прочитав письмо, ей стало стыдно» (в деепричастии нет явного исполнителя; лучше: «Прочитав письмо, она почувствовала стыд» или «После прочтения письма ей стало стыдно»).
- Логическая неоднозначность при множественном числе/роли: «Прочитав письмо, все были счастливы» — здесь нужно уточнить, кто именно прочитал, иначе смысл смазан: «Когда все прочитали письмо, они были счастливы» или «Прочитав письмо, она поняла, что…».
Как исправлять: привести в соответствие исполнителя деепричастия и подлежащее (переписать предложение так, чтобы деепричастие относилось к тому же лицу), или заменить деепричастный оборот на обстоятельственный оборот с предлогом/подчинённым предложением («после того как прочитала», «после прочтения»).