Коротко — слово «русский» пишется с прописной (заглавной) буквы только когда оно входит в собственное имя или стоит в начале предложения; в общем употреблении — со строчной.
Объяснение и правила:
- Названия языков и прилагательные, обозначающие принадлежность по языку или национальности, в русском языке пишутся со строчной: «русский язык», «русский народ», «русский писатель». Это не собственные имена, а нарицательные словоформы.
- Заглавная буква употребляется, если сочетание является собственным названием (официальным наименованием, заголовком, названием организации, музея, курса в кавычках и т.п.), либо если слово стоит в начале предложения. Примеры: «Русский музей» (официальное название), «Курс "Русский язык"» (название курса), «Русский язык изучают во многих странах» (начало предложения).
- Также слова внутри официальных названий часто пишутся с заглавной буквы по правилу оформления наименований: в составе имени организации, издания, учреждения и т.п. («Институт русского языка» — здесь «русского» обычно со строчной, но «Русский музей» — оба слова часть имени и оба с заглавной).
Итого:
- Общая норма: «русский язык» (строчная).
- Исключение: собственные названия и начало предложения: «Русский музей», «Курс "Русский язык"», или «Русский язык...» (в начале).