Оба варианта написания слова "назначение" и "предназначение" являются правильными. Они имеют схожее значение и используются в разных контекстах. "Назначение" чаще используется в смысле назначения на какую-то должность, пост или роль, а также в значении цели или назначения чего-то. "Предназначение" чаще употребляется в более философском или религиозном контексте и означает заранее заданный судьбой или высшими силами путь или цель жизни.