Данные: $I=100,p_A^0=5,p_B=10,A_0=10,B_0=5,p_A^1=10.$
1) Выбор модели (чтобы получить численные эффекты) — возьмём удобную и совместимую с наблюдаемым начальным выбором функцию полезности Кобба–Дугласа $u(A,B)=A^{\alpha }{B}^{1-\alpha }$. Из начального выбора
$\alpha =\frac{p_A^0{A}_0}{I}=\frac{5\cdot 10}{100}=\mathrm{0.5.}$
2) Маршаллиевы (бюджетные) функции спроса:
$A=\frac{\alpha I}{p_A},B=\frac{(1-\alpha )I}{p_B}.$
При новых ценах и том же доходе:
$A_1=\frac{0.5\cdot 100}{10}=5,B_1=\frac{0.5\cdot 100}{10}=5.$
3) Разложение по Слатски (компенсация дохода так, чтобы можно было купить исходную корзину при новых ценах):
$I^c=p_A^1{A}_0+p_B{B}_0=10\cdot 10+10\cdot 5=150.$
Компенсированный спрос при $(p_A^1,p_B,I^c)$:
$A^c=\frac{0.5\cdot 150}{10}=7.5,B^c=\frac{0.5\cdot 150}{10}=\mathrm{7.5.}$
Составные эффекты для $A$:
- эффект замены (компенсированный): $\Delta A^s=A^c-A_0=7.5-10=-\mathrm{2.5.}$ - эффект дохода: $\Delta A^m=A_1-A^c=5-7.5=-\mathrm{2.5.}$ - общий эффект: $\Delta A=\Delta A^s+\Delta A^m=-5$ (из $10$ в $5$).
Для $B$:
- $\Delta B^s=B^c-B_0=7.5-5=+\mathrm{2.5.}$ - $\Delta B^m=B_1-B^c=5-7.5=-\mathrm{2.5.}$ - общий эффект: $0$ (из $5$ в $5$).
4) Изменение благосостояния — компенсирующая вариация (CV) и эквивалентная вариация (EV) для Кобба–Дугласа.
Экспоненциальная форма функции расходов:
$e(p,u)=\frac{u}{{\alpha }^{\alpha }(1-\alpha {)}^{1-\alpha }}{p}_A^{\alpha }{p}_B^{1-\alpha }.$ Здесь при $\alpha =0.5$ коэффициент $\frac{1}{{\alpha }^{\alpha }(1-\alpha {)}^{1-\alpha }}=2.$
Начальная полезность:
$u_0=A_0^{0.5}{B}_0^{0.5}=\sqrt{10\cdot 5}=\sqrt{50}\approx \mathrm{7.0711.}$
CV (сумма денег, которую надо добавить после роста цен, чтобы вернуть исходную полезность):
$CV=e(p^1,u_0)-I=2u_0\sqrt{p_A^1{p}_B}-I=2\sqrt{50}\sqrt{10\cdot 10}-100\approx 141.421-100=\mathrm{41.421.}$
EV (сумма, которую потребитель согласился бы заплатить до повышения цен, чтобы не допустить повышения):
новая полезность $u_1=\sqrt{5\cdot 5}=5.$ $EV=I-e(p^0,u_1)=100-2\cdot 5\sqrt{5\cdot 10}=100-70.7107\approx \mathrm{29.289.}$
Интерпретация: после повышения цены товарA потребителю нужно примерно $41.42$ у.е. компенсировать, чтобы восстановить изначальное благосостояние; EV меньше CV (стандартно при росте цен).
5) Предложение метода эмпирической оценки:
- Собрать данные по ценам и объёмам покупок (панель/кросс-секции домохозяйств).
- Оценить параметрическую модель спроса (например, AIDS, Almost Ideal Demand System; CES; или Кобба–Дугласа как частный случай) методом максимального правдоподобия/OLS/GMM.
- По оценённой модели получить компенсационные (Хиксовы) функции спроса или функцию расходов $e(p,u)$.
- Численно вычислить: компенсированную цену/доход для разложения Слатски/Хикса, а также CV и EV; провести бутстрэппинг для доверительных интервалов.
- Проверить робастность (разные спецификации спроса, гетерогенность домохозяйств).
Кратко: при допущении Кобба–Дугласа ($\alpha =0.5$) эффекты для $A$: замена $-2.5$, доход $-2.5$, всего $-5$; для $B$: замена $+2.5$, доход $-2.5$, всего $0$. Компенсационная вариация ≈ $41.42$ у.е.; эквивалентная вариация ≈ $29.29$ у.е. Для эмпирики — оценить модель спроса (AIDS/CES и т.п.) и по ней вычислить Хиксовы/Слатскиевы эффекты и CV/EV.