Пусть тело брошено с начальной скоростью $v$ вертикально вверх под углом $\theta$ к вертикальной оси. Тогда время подъема до момента достижения максимальной высоты можно найти из уравнения движения тела вверх:

$$v_y = v_0 \sin\theta - gt$$

где $v_0$ - начальная скорость тела, $g$ - ускорение свободного падения. Так как тело достигает максимальной высоты в точке, в которой $v_y = 0$, то можно найти время подъема до этой точки:

$$v0 \sin\theta = gt{\text{max}}$$
$$t_{\text{max}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$$

В момент падения на землю можно найти время полета, используя уравнение движения тела вниз:

$$y = y_0 + v_0 \sin\theta t - \frac{1}{2}gt^2$$

Так как полет происходит до того, как тело вернется на землю, то $y = 0$ в момент падения. Подставив это в уравнение движения, найдем время полета до падения:

$$0 = v_0 \sin\theta t - \frac{1}{2}gt^2$$
$$t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$$

Таким образом, время подъема до максимальной высоты $t_{\text{max}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$, а время полета до падения $t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$. Докажем, что время полета вдвое больше времени подъема:

$$\frac{t}{t_{\text{max}}} = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} \cdot \frac{g}{v_0 \sin\theta} = 2$$

Таким образом, доказано, что время полета тела до момента падения на землю вдвое больше времени его подъема на максимальную высоту.