Чтобы вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд, нужно найти интеграл скорости ( V(t) ) по времени от 0 до 5 секунд.

Дано уравнение скорости:

[
V(t) = t^2 + 3t + 7
]

Путь ( S ) можно вычислить по формуле:

[
S = \int_{0}^{5} V(t) \, dt
]

Теперь выполним интегрирование:

[
S = \int_{0}^{5} (t^2 + 3t + 7) \, dt
]

Разделим интеграл на три части:

[
S = \int{0}^{5} t^2 \, dt + \int{0}^{5} 3t \, dt + \int_{0}^{5} 7 \, dt
]

Теперь найдем каждый из интегралов по отдельности.

Для первого интеграла:

[
\int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} \quad \text{(от 0 до 5)}
]

Подставим пределы:

[
\left. \frac{t^3}{3} \right|_{0}^{5} = \frac{5^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{125}{3}
]

Для второго интеграла:

[
\int 3t \, dt = \frac{3t^2}{2} \quad \text{(от 0 до 5)}
]

Подставим пределы:

[
\left. \frac{3t^2}{2} \right|_{0}^{5} = \frac{3 \cdot 5^2}{2} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} = \frac{3 \cdot 25}{2} = \frac{75}{2}
]

Для третьего интеграла:

[
\int 7 \, dt = 7t \quad \text{(от 0 до 5)}
]

Подставим пределы:

[
\left. 7t \right|_{0}^{5} = 7 \cdot 5 - 7 \cdot 0 = 35
]

Теперь соберем все части вместе:

[
S = \frac{125}{3} + \frac{75}{2} + 35
]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 3 и 2 — это 6.

Переписываем каждое слагаемое с соответствующими знаменателями:

[
S = \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{75 \cdot 3}{6} + \frac{35 \cdot 6}{6} = \frac{250}{6} + \frac{225}{6} + \frac{210}{6}
]

Теперь складываем:

[
S = \frac{250 + 225 + 210}{6} = \frac{685}{6}
]

Вычислем:

[
S \approx 114.17 \, \text{м}
]

Таким образом, путь, пройденный точкой за 5 секунд, составляет примерно ( 114.17 ) метра.