Для решения задачи нам нужно определить полное линейное ускорение материальной точки, движущейся по окружности с изменяющимся углом поворота. Дадим необходимые обоснования и сделаем расчеты.

Определяем угол поворота:
Угол поворота задан в виде:
[
\phi(t) = \frac{at}{bt + 1}
]

Находим угловую скорость (\omega):
Угловая скорость (\omega) равна производной угла поворота по времени:
[
\omega(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{at}{bt + 1}\right)
]

Используя правило дифференцирования дроби, получим:
[
\omega(t) = \frac{(b t + 1)(a) - (a t)(b)}{(b t + 1)^2} = \frac{a(b t + 1) - ab t}{(b t + 1)^2} = \frac{a}{(b t + 1)^2}
]

Находим угловое ускорение (\alpha):
Угловое ускорение (\alpha) - это производная угловой скорости по времени:
[
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{a}{(bt + 1)^2}\right)
]

Вычислим производную:
[
\alpha(t) = -\frac{2a b}{(bt + 1)^3}
]

Полное линейное ускорение:
Полное линейное ускорение (a) точки можно выразить как сумму тангенциального ускорения (a_t) и центростремительного ускорения (a_c):
[
a = a_t + a_c
]

Тангенциальное ускорение определяется как:
[
a_t = R \alpha = R \left(-\frac{2ab}{(bt + 1)^3}\right)
]

Центростремительное ускорение вычисляется с помощью угловой скорости:
[
a_c = R \omega^2 = R \left(\frac{a}{(bt + 1)^2}\right)^2 = \frac{R a^2}{(bt + 1)^4}
]

Соберем всё вместе:
Подставляем выражения для (a_t) и (a_c) в формулу для полного линейного ускорения:
[
a = -\frac{2abR}{(bt + 1)^3} + \frac{R a^2}{(bt + 1)^4}
]

Таким образом, полное линейное ускорение точки в зависимости от времени выглядит следующим образом:
[
a(t) = -\frac{2abR}{(bt + 1)^3} + \frac{R a^2}{(bt + 1)^4}
]