Для получения выражения изменения кинетической энергии вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси, мы сначала вспомним основные уравнения механики вращательного движения.

Кинетическая энергия вращательного движения ( E_k ) определяется как:
[
E_k = \frac{1}{2} I \omega^2
]
где ( I ) — момент инерции тела относительно оси вращения, а ( \omega ) — угловая скорость.

Если на тело начинает действовать постоянный момент силы ( M ), то это приводит к изменению угловой скорости. Мы знаем, что момент силы связан с угловым ускорением ( \alpha ) по следующему уравнению:
[
M = I \alpha
]
Отсюда выражаем угловое ускорение:
[
\alpha = \frac{M}{I}
]

Определим изменение угловой скорости. Если начальная угловая скорость тела равна ( \omega_0 ), то через время ( t ) угловая скорость станет:
[
\omega = \omega_0 + \alpha t = \omega_0 + \frac{M}{I} t
]

Теперь подставим это выражение в формулу для кинетической энергии.
[
E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} I \left( \omega_0 + \frac{M}{I} t \right)^2
]

Раскроем скобки:
[
E_k = \frac{1}{2} I \left( \omega_0^2 + 2 \omega_0 \frac{M}{I} t + \left( \frac{M}{I} t \right)^2 \right)
]
[
E_k = \frac{1}{2} I \omega_0^2 + \omega_0 M t + \frac{1}{2} \frac{M^2}{I} t^2
]

Теперь можем определить изменение кинетической энергии ( \Delta E_k ) от начального момента времени ( t=0 ) до момента времени ( t ):
[
\Delta E_k = Ek - E{k0}
]
где ( E_{k0} = \frac{1}{2} I \omega_0^2 ).

Таким образом, изменение кинетической энергии будет:
[
\Delta E_k = \left( \frac{1}{2} I \omega_0^2 + \omega_0 M t + \frac{1}{2} \frac{M^2}{I} t^2 \right) - \frac{1}{2} I \omega_0^2
]
[
\Delta E_k = \omega_0 M t + \frac{1}{2} \frac{M^2}{I} t^2
]

Это и есть выражение для изменения кинетической энергии вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси, когда на него действует постоянный момент силы.