Для того чтобы кубик плавал в воде, должен выполняться принцип Архимеда, согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости.

Обозначим:

( V ) — объем кубика,( V_w ) — объем вытесненной воды,( \rho ) — плотность кубика,( \rho_w ) — плотность воды (приблизительно ( 1000 \, \text{кг/м}^3 )),( g ) — ускорение свободного падения (можно взять равным ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )).

Когда кубик погружен на ( \frac{2}{3} ) своего объема, объем вытесненной воды составляет:
[
V_w = \frac{2}{3} V.
]

Согласно принципу Архимеда, вес вытолкнутой воды равен силе Архимеда:
[
F_{\text{выт}} = \rho_w \cdot V_w \cdot g = \rho_w \cdot \frac{2}{3} V \cdot g.
]

Вес кубика равен:
[
F_{\text{куб}} = \rho \cdot V \cdot g.
]

Для плавающего состояния выполняется равенство сил:
[
F{\text{выт}} = F{\text{куб}}.
]

Подставим выражения:
[
\rho_w \cdot \frac{2}{3} V \cdot g = \rho \cdot V \cdot g.
]

Так как ( g ) и ( V ) не равны нулю, их можно сократить:
[
\rho_w \cdot \frac{2}{3} = \rho.
]

Теперь подставим плотность воды (( \rho_w = 1000 \, \text{кг/м}^3 )):
[
\rho = 1000 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2000}{3} \approx 666.67 \, \text{кг/м}^3.
]

Таким образом, плотность кубика должна составлять примерно ( 666.67 \, \text{кг/м}^3 ), чтобы он плавал в воде, погруженный на ( \frac{2}{3} ) своего объема.