Коротко и по делу. Предположим идеальную натянутую струну длины $L$ с закреплёнными концами, линейной плотностью $\mu$ и натяжением $T$. Обозначим место приложения импульса $x_0$ и импульс силы по времени $F(x,t)=P\delta (x-x_0)\delta (t)$ (импульс момента $P$).
1) Модовые формы и собственные частоты:
$${\varphi }_n(x)=\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),{\omega }_n=\frac{n\pi }{L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}(=n{\omega }_1).$$
2) Проекция импульса на моды (коэффициенты возбуждения). Нормировка ${\int }_0^L{\varphi }_n^{2}dx=L/2$ даёт модальную массу $m_n=\mu L/2$. Для мгновенного импульса начальная скорость моды
$${\dot{q}}_n(0^{+})=\frac{P{\varphi }_n(x_0)}{m_n}=\frac{2P}{\mu L}{\varphi }_n(x_0).$$ Амплитуда колебания моды (в разложении по ${\varphi }_n$) равна
$$A_n=\frac{{\dot{q}}_n(0^{+})}{{\omega }_n}=\frac{2P}{\mu L{\omega }_n}{\varphi }_n(x_0).$$ Полное решение — суперпозиция стоячих волн
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{\varphi }_n(x)\sin ({\omega }_{n}t).$$
3) Следствия для узоров и спектра:
- Узоры: возбуждается сумма стоячих мод ${\varphi }_n(x)$ с весом $\propto {\varphi }_n(x_0)$. На графике это выглядит как наложение соответствующих собственных форм; в моменты максимума каждой моды наблюдаются её узлы и пучности.
- Нули возбуждения: если ${\varphi }_n(x_0)=0$ (то есть точка $x_0$ совпадает с узлом моды $n$), эта мода не возбуждается.
- Зависимость амплитуд от номера моды: для идеального точечного и мгновенного импульса
$$A_n\propto \frac{{\varphi }_n(x_0)}{{\omega }_n}\sim \frac{{\varphi }_n(x_0)}{n},$$ т. е. огибающая спектра убывает примерно как $1/n$.
- Особые положения: например, при $x_0=L/2$ имеем ${\varphi }_n(L/2)=\sin (n\pi /2)$, поэтому чётные гармоники не возбуждаются (нулевые).
- Концентрация импульса по пространству/времени: если импульс имеет конечную ширину по времени, то высокие частоты дополнительно подавляются временным фильтром (временной FT). Если сила не точечна, а распределена по ширине $\sigma$, то пространственный фактор
$$\int f(x){\varphi }_n(x)dx$$ для больших $n$ быстро убывает (напр., для гауссовой формы $\propto e^{-(n\pi \sigma /L{)}^2/2}$), и высокие моды сильнее подавляются.
Итого: визуально вы получите суперпозицию стоячих волн $\sin (n\pi x/L)$ с весами, пропорциональными значению этих форм в точке удара; спектр содержит все гармоники, для которых ${\varphi }_n(x_0)\ne 0$, с амплитудами, уменьшающимися примерно как $1/n$ для идеального точечного мгновенного импульса и более быстрым спадом при конечной пространственной/временной ширине импульса.