Коротко и по делу.
Почему фокусное расстояние задаёт увеличение
- Для тонкой линзы выполняется тонкая линзовая формула:
$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{f},$$ где $s$ — расстояние до предмета, $s^{\prime }$ — расстояние до изображения, $f$ — фокусное расстояние.
- Латеральное (линейное) увеличение $m$ равно отношению размеров изображения и предмета и выражается как
$$m=\frac{y^{\prime }}{y}=-\frac{s^{\prime }}{s}.$$ Подставляя $s^{\prime }$ из первой формулы, получаем, например, для предмета на расстоянии $s$:
$$m=-\frac{f}{s-f}.$$ Таким образом фокусное расстояние вместе с положением предмета однозначно определяют $s^{\prime }$ и, следовательно, увеличение.
Как аберрации и дифракция ограничивают разрешающую способность
- Дифракция — фундаментальное волновое ограничение. Для круглого диафрагмового отверстия интенсивность точки образа описывается пятном Эйри; угловой радиус первого минимума:
$${\theta }_{min}=1.22\frac{\lambda }{D},$$ где $\lambda$ — длина волны, $D$ — диаметр апертуры. Линейный размер пятна в фокальной плоскости:
$$r=1.22\frac{\lambda f}{D}.$$ Через числовую апертуру $NA$ обычно дают разрешение как
$$\delta \approx 0.61\frac{\lambda }{NA}.$$ Критерий Рэли: две точки различимы, если их угловое/линейное разделение ≳ указанной величины.
- Аберрации — отклонения от идеальной геометрической фокусировки, приводят к искажению волнового фронта и расширению/асимметрии функции рассеяния точки (PSF). Основные виды: сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поля, искажение, хроматическая аберрация. Их эффекты:
- Широкое, асимметричное или смещённое PSF → снижается контраст мелких деталей.
- Хроматизм → разные длины волн фокусируются в разных местах → деградация при белом свете.
- Взаимодействие дифракции и аберраций:
- Даже при отсутствии аберраций разрешение ограничено дифракцией (идеальная дифракционная граница).
- Аберрации увеличивают энергию вне центрального пятна Эйри → понижают пиковую яркость и MTF (контраст при высоких частотах).
- Критерий «дифракционно-ограниченная» оптика: Strehl‑коэффициент $\gtrsim 0.8$. Если Strehl < 0.8 — аберрации заметно снижают разрешение.
- Количественные меры:
- Предел разрешения (пространственная частота) для идеальной апертуры: $f_c\approx NA/\lambda$.
- MTF (модуляционная передаточная функция) показывает падение контраста с увеличением частоты; аберрации смещают/снижают MTF, дифракция задаёт верхний предел частоты.
Вывод: фокусное расстояние с геометрической формулой задаёт положение изображения и увеличение; но реальная разрешающая способность определяется волновой природой света (дифракция) и искажениями волнового фронта (аберрации), которые вместе определяют фактическое разрешение и контраст системы.