Нужно учитывать несколько типов возмущающих сил, их порядок влияния и как они входят в уравнения движения. Кратко — что важно, формулы и практические замечания.
1) Атмосферное сопротивление (главный фактор для LEO)
- Ускорение:
${\mathbf{a}}_{drag}=-\frac{1}{2}{C}_D\frac{A}{m}\rho (h)v_{rel}^2{\hat{v}}_{rel}.$ - Плотность атмосферы (упрощённо):
$\rho (h)={\rho }_0\exp (-\frac{h-h_0}{H}),$ где $H$ — высота масштаба; в реальных расчётах используют модели NRLMSISE-00/NRLMSIS2, JB2008 и т.д.
- Баллистический коэффициент:
$B=\frac{m}{C_{D}A}.$ - Важное: сильная изменчивость плотности (солнечная активность F10.7, Kp) даёт наибольшую неопределённость времени падения → нужно стохастическое/ансамблевое моделирование.
2) Несплошная (несферическая) гравитация Земли (J2 и высшие гармоники)
- Дополняет центральное поле: главное влияние — прецессии узла и перицентра, медленные изменения элементов; на высоте влияет на распределение апогея/перигея и темп «подлёта» к атмосфере.
- Пример для скорости регрессии узла:
$\dot{\Omega }=-\frac{3}{2}{J}_{2}n{\left(\frac{R_e}{p}\right)}^2\cos i,$ где $n=\sqrt{\mu /a^3}$, $p=a(1-e^2)$.
- Для точного прогноза используйте модель поля (EGM2008 и т.д.) до требуемого порядка гармоник.
3) Солнечное давление (SRP)
- Для малых спутников с большой площадью/масса‑отношением может быть сопоставимо с другими малыми возмущениями:
${\mathbf{a}}_{srp}=P_{sr}{C}_R\frac{A}{m}\hat{s},$ где $P_{sr}\approx 4.56\times 10^{-6}N/{\mathrm{m}}^2$ на 1 AU, $C_R$ — коэффициент отражения, $\hat{s}$ — направление от Солнца.
- Влияет на элементы орбиты (особенно эксцентриситет/аргумент перигея) и на долгосрочную эволюцию у А/м больших объектов.
4) Третьи тела (Луна, Солнце)
- Участвуют в долгопериодных возмущениях; математически:
${\mathbf{a}}_{3rd}={\mu }_{3rd}(\frac{{\mathbf{r}}_{3rd}-\mathbf{r}}{|{\mathbf{r}}_{3rd}-\mathbf{r}{|}^3}-\frac{{\mathbf{r}}_{3rd}}{|{\mathbf{r}}_{3rd}{|}^3}).$ - Для LEO обычно меньше по величине чем атмосферный дрэг, но важны для долгосрочного прогноза и резонансов.
5) Прочие малые эффекты (по необходимости)
- Электромагнитные силы (если спутник заряжен и присутствует магнитное поле) — обычно малы.
- Термальные силы (ре-эмиссия излучения, Yarkovsky) — пренебрежимо малы для типовых кубсатов/микроспутников в LEO.
- Манёвры, смена ориентации (меняет $A$ и $C_D$) и расход топлива — учитывать в моделировании операций.
Состав уравнения движения для численной интеграции:
$$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{\mu }{r^3}\mathbf{r}+{\mathbf{a}}_{J2+...}+{\mathbf{a}}_{drag}+{\mathbf{a}}_{srp}+{\mathbf{a}}_{3rd}+\dots$$
Оценка корректорных манёвров / топлива
- Непосредственно требуемая тяга против дрэга: $F\approx m{a}_{drag}$. Для постоянной компенсации надо давать $\Delta v$ за время $T$:
$\Delta v\approx {\int }_0^T{a}_{drag}(t)dt.$ - Расход топлива (ручная оценка):
$\Delta m=m_0(1-\exp (-\frac{\Delta v}{I_{sp}{g}_0}\left)\right).$
Рекомендации для прогноза времени падения
- Обязательно моделировать атмосферную плотность с учётом сценариев солнечной активности (ансамбль F10.7/Kp).
- Включить J2 как минимум; для точности более чем несколько дней — использовать реальные гармоники поля.
- Оценивать влияние SRP для высоких А/м; учитывать ориентацию (временные изменения поперечного сечения).
- Делать Monte‑Carlo по неопределённостям плотности, Cd, A/m, манёврам и прогнозировать распределение времени падения, а не единственное число.
Коротко: для LEO главным является атмосферный дрэг (сильная стохастичность), обязательно включать J2/высшие гармоники для геометрии орбиты, SRP — при большом A/m, третьи тела — для долгосрочной динамики; все силы включаются в численную интеграцию уравнения движения и анализируются ансамблево.