Коротко о смысле «циркуляции» и «расходимости»: дивергенция измеряет наличие источников/стоков в поле (что естественно для электрического поля вокруг заряда), а ротор (curl) — локальную циркуляцию поля по контуру (что характерно для магнитного поля вокруг тока). Это формально выражено в уравнениях Максвелла.
Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,$$ $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$
Пояснения:
- $\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /{\epsilon }_0$ (закон Гаусса) говорит, что точечный заряд создаёт поток электрического поля — т.е. источник/расходимость поля.
- $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ означает отсутствие магнитных монополей, поэтому магнитное поле не имеет «точечных источников».
- $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathbf{E}/\partial t$ (закон Ампера–Максвелла) показывает, что токи $\mathbf{J}$ и изменение электрического поля создают циркуляцию магнитного поля вокруг контура.
- $\nabla \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B}/\partial t$ (закон Фарадея) показывает, что изменяющееся магнитное поле создаёт циркуляцию электрического поля.
Как из этого получаются электромагнитные волны (в вакууме, $\rho =0,\mathbf{J}=0$) — выведение волнового уравнения для $\mathbf{E}$:
возьмём ротор от уравнения Фарадея:
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}).$$ Используем векторную тождественность
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E},$$ и в вакууме $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$, а $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathbf{E}/\partial t$. Подставляя, получаем
$$-{\nabla }^2\mathbf{E}=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2},$$ или
$${\nabla }^2\mathbf{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,$$ аналогично для $\mathbf{B}$:
$${\nabla }^2\mathbf{B}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0.$$ Это волновые уравнения с фазовой скоростью
$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$
Вывод: в статике электрические поля описываются через дивергенцию (заряды — источники), магнитные поля вокруг токов — через циркуляцию (ротор), а в динамике (включая поправку Максвелла — смещение электрического тока) взаимная индукция $\partial \mathbf{E}/\partial t$ и $\partial \mathbf{B}/\partial t$ приводит к самоподдерживающимся волноподобным изменениям $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ — электромагнитной волне.