Коротко: при сильных градиентах температуры классическая Максвеллова форма распределения $f^{(0)}$ нарушается — нужно учитывать нетепловые поправки, вытекающие из кинетического уравнения Больцмана. Практически это делается через расширение Чепмена–Энского или через метод Грэда (моменты). Последствия — переход от линейных законов Навье–Стокса/Фурье к нелинейным и ненлокальным соотношениям (Burnett, super‑Burnett, моменты), появление нормальных растяжений, нелинейного теплового потока, тепловой тяги (thermal creep) и слоев Кнудсена у границ.
Ключевые формулы (схема):
- Больцман и разложение
$${\partial }_{t}f+\mathbf{v}\cdot \nabla f+\mathbf{F}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}}=C[f],f=f^{(0)}+f^{(1)}+f^{(2)}+\dots$$ - Локальный максвелловский нулевой порядок
$$f^{(0)}=n\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}{)}^{3/2}\exp \right(-\frac{m{c}^2}{2k_{B}T}),\mathbf{c}=\mathbf{v}-\mathbf{u}.$$ - Первый порядок (Navier–Stokes–Fourier), линейные законы:
$${\Pi }_{ij}^{(1)}=-\eta ({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i-\frac{2}{3}{\delta }_{ij}\nabla \cdot \mathbf{u}),{\mathbf{q}}^{(1)}=-\kappa \nabla T.$$ Эти поправки предполагают малый Кнудсен $\mathrm{Kn}=\ell /L\ll 1$ и малые градиенты.
При сильных градиентах ($\mathrm{Kn}/\ll 1$ или большие относительные градиенты $\ell |\nabla \ln T|\sim 1$) необходимы высшие порядки:
- Burnett / super‑Burnett: вторые и высшие по $\mathrm{Kn}$ члены. Схематично
$$\Pi ={\Pi }^{(1)}+{\Pi }^{(2)}+\dots ,{\Pi }^{(2)}\sim {\alpha }_1{\ell }^2\nabla \nabla \mathbf{u}+{\alpha }_2{\ell }^2(\nabla \mathbf{u}{)}^2+{\alpha }_3{\ell }^2\nabla \nabla T,$$ $$\mathbf{q}={\mathbf{q}}^{(1)}+{\mathbf{q}}^{(2)}+\dots ,{\mathbf{q}}^{(2)}\sim {\beta }_1{\ell }^2\nabla \nabla T+{\beta }_2{\ell }^2(\nabla \mathbf{u})\cdot \nabla T+{\beta }_3{\ell }^2\nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}).$$ Коэффициенты ${\alpha }_i,{\beta }_i$ зависят от межмолекулярного потенциала и вычисляются из коллизионного оператора.
Практические следствия:
- Нелинейная зависимость вязкости и теплопроводности от градиентов (эффективные коэффициенты зависят от $\nabla T,\nabla u$).
- Появление нормальных растяжений (различные диагональные компоненты тензора напряжений).
- Тепловой поток не только $-\kappa \nabla T$, но и вклад от градиентов скорости (взаимные эффекты), и второпорядковые пространственные производные (неместные эффекты).
- Вблизи стен — слои Кнудсена с температурными скачками и упруго-термической тягой (thermal creep).
- Для сильных неравновесий распределение становится анизотропным и приобретает высокоэнергетические отклонения, что требует решения полной кинетической задачи или применения многомоментных модельных уравнений (например, Грэд‑13), либо численных методов (DSMC, решение Больцмана).
Итого: надо перейти от первого порядка (NSF) к высшим порядкам Чепмена–Энского (Burnett и далее) или к многомоментным/кинетическим решениям; в переносе импульса и тепла это проявится как дополнительные (второго и высших порядков по $\mathrm{Kn}$) члены, нелинейность и неместность в соотношениях для тензора напряжений и теплового потока.