Кратко — с формулами и алгоритмом восстановления.
1) Суть и уравнения (плоская пластина, координата по толщине $z\in [0,t]$, ток вдоль $x$, поле $B$ вдоль $z$). Локальная проводимость
$$\sigma (z)=qn(z)\mu (z),$$ локальные компоненты тензора при поле $B$:
$${\sigma }_{xx}(z)=\frac{\sigma (z)}{1+[\mu (z)B{]}^2},{\sigma }_{xy}(z)=\frac{\sigma (z)\mu (z)B}{1+[\mu (z)B{]}^2}$$ (знак зависит от типа носителей). Суммарные (удельные по площади) компоненты:
$${\Sigma }_{xx}={\int }_0^t{\sigma }_{xx}(z)dz,{\Sigma }_{xy}={\int }_0^t{\sigma }_{xy}(z)dz.$$ Измеряемая поперечная сопротивляемость
$${\rho }_{xy}(B)=-\frac{{\Sigma }_{xy}}{{\Sigma }_{xx}^2+{\Sigma }_{xy}^2},$$ в малых полях ($\mu B\ll 1$)
$${\rho }_{xy}(B)\approx -\frac{{\Sigma }_{xy}}{{\Sigma }_{xx}^2}\approx -\frac{B{\int }_0^{t}qn{\mu }^{2}dz}{({\int }_0^{t}qn\mu dz{)}^2}.$$
2) Низкопольное приближение — полезные моменты. Введём моменты
$$M_1={\int }_0^{t}n(z)\mu (z)dz,M_2={\int }_0^{t}n(z)\mu (z{)}^{2}dz.$$ Тогда листовая проводимость и измеренный коэффициент Холла связаны с ними как
$$G_s={\int }_0^t\sigma (z)dz=q{M}_1,R_H^{\mathrm{meas}}=\frac{{\rho }_{xy}(B)}{B}=\frac{M_2}{q{M}_1^2}.$$ Эффективная (Холловская) концентрация
$$n_H=\frac{1}{q{R}_H^{\mathrm{meas}}}=\frac{M_1^2}{M_2}.$$ Эти выражения показывают, что измеренный Холл даёт не просто среднюю $n(z)$, а проводимость- и подвижность-взвешенные моменты распределений.
3) Следствия и ограничения.
- Одно-измерение (один $R_H$ и один $G_s$) даёт только два числа $M_1$ и $M_2$. Это недостаточно для однозначного восстановления функций $n(z)$ и $\mu (z)$ — задача невырожденная и требует дополнительных допущений или измерений.
- Если $\mu (z)=$ const, то из $M_1$ сразу получаем среднюю концентрацию $\bar{n}=\frac{G_s}{q\mu t}$ и $n_H=\bar{n}$.
- При наличии нескольких типов носителей или существенного рассеяния вводится фактор Холла $r_H$ (замена $1/(qn)\to r_H/(qn)$) — учесть обязательно.
4) Как практически восстановить профиль (методы).
- Последовательное травление/шлифовка: измерять $G_s$ и $R_H$ после удаления тонких слоёв — прямое накопительное восстановление $n(z)$ при известной/предполагаемой $\mu (z)$.
- C–V профилирование + Холл: C–V даёт $n(z)$ в приповерхностной области; комбинируя с Холлом можно извлечь $\mu (z)$.
- Микроскопия Холла/сканирующее зондирование: локальные измерения $V_H(x,y)$ дают пространственную резолюцию.
- Многопольный метод: измерять ${\rho }_{xy}(B)$ и ${\rho }_{xx}(B)$ при разных $B$ (и температурах). Используя полную формулу (без малого-B приближения)
$${\Sigma }_{xx}(B)={\int }_0^t\frac{qn\mu }{1+(\mu B{)}^2}dz,{\Sigma }_{xy}(B)={\int }_0^t\frac{qn{\mu }^{2}B}{1+(\mu B{)}^2}dz,$$ и аппроксимируемую модель $n(z),\mu (z)$, можно по набору кривых ${\rho }_{xy}(B),{\rho }_{xx}(B)$ восстановить параметры модели путём нелинейной подгонки (регуляризация обязательна).
5) Практический алгоритм восстановления (рекомендуемая последовательность).
- Измерьте $G_s$ и $R_H(B)$ в широком диапазоне $B$ и при нескольких $T$.
- Выберите параметризацию профиля (слои с постоянными $n_i,{\mu }_i$, или база функций, или связь $\mu (n)$).
- Сформируйте прямую модель (интегралы для ${\Sigma }_{xx},{\Sigma }_{xy}$, вычислите ${\rho }_{xy},{\rho }_{xx}$).
- Выполните оптимизацию параметров по данным с регуляризацией (Tikhonov, smoothness) и оценкой ошибок.
- Проверьте устойчивость: чувствительность к шуму, альтернативные модели, независимые измерения (C–V, SIMS, etching).
6) Ключевые замечания.
- Неоднозначность: без дополнительных ограничений невозможно единственное решение.
- Шум и контактные эффекты, неоднородности по плоскости и мультиперенос ухудшают восстановление.
- Учтите фактор Холла $r_H$ и возможные мультиносительные вклады.
Вывод: измеренный Холл даёт два момента распределений $M_1$ и $M_2$ (через $G_s$ и $R_H$); для полного восстановления профилей $n(z)$ и $\mu (z)$ нужны дополнительные измерения или модельные допущения (etching, C–V, многопольные измерения, параметризация + регуляризованная подгонка).