Кратко и по сути.
1) Линейный случай — обмен энергией (биения).
Модель (массы = 1, собственная частота ${\omega }_0$, жёсткость соединяющей пружины $\kappa$):
$${\ddot{x}}_1+{\omega }_0^2{x}_1+\kappa (x_1-x_2)=0,{\ddot{x}}_2+{\omega }_0^2{x}_2+\kappa (x_2-x_1)=0.$$ Нормальные моды: синфазная $x_1=x_2$ с частотой ${\omega }_s={\omega }_0$ и противофазная $x_1=-x_2$ с ${\omega }_a=\sqrt{{\omega }_0^2+2\kappa }$. Любое начальное возмущение — суперпозиция этих мод:
если вначале возбуждён только первый маятник $x_1(0)=X,x_2(0)=0$, то
$$x_i(t)=\frac{X}{2}(\cos ({\omega }_{s}t)\pm \cos ({\omega }_{a}t))$$ (знак + для $i=1$, − для $i=2$). Энергия периодически перекладывается между маятниками с частотой биений
$$\Delta \omega ={\omega }_a-{\omega }_s,T_{beat}=\frac{2\pi }{\Delta \omega },$$ и энергию одного маятника можно записать как модуляцию по напряжённой огибающей $\propto {\cos }^2(\frac{\Delta \omega }{2}t)$.
2) Сильная нелинейность — сдвиг частот, резонансы и бифуркации мод.
Добавим кубическую нелинейность (Duffing):
$${\ddot{x}}_i+{\omega }_0^2{x}_i+\alpha x_i^3+\kappa (x_i-x_j)=0,i\ne j.$$ При конечной амплитуде нелинейность даёт амплитудозависимую поправку к частоте $\delta \omega \propto \alpha A^2$. На медленных временных масштабах можно получить для комплексных амплитуд $a_{1,2}$ нормальную форму (приближённо):
$${\dot{a}}_1=-i(\delta +\gamma |a_1{|}^2)a_1+iK{a}_2,{\dot{a}}_2=-i(\delta +\gamma |a_2{|}^2)a_2+iK{a}_1,$$ где $K\sim \kappa /2$ — линейная связь, $\gamma$ — коэффициент нелинейного сдвига частоты. Физический смысл: нелинейный сдвиг $\gamma |a{|}^2$ конкурирует с линеарным расщеплением частот $\Delta \omega$.
Ключевой эффект — бифуркация симметричной моды: если при росте амплитуды выполнено
$$\gamma A^2\gtrsim \Delta \omega ,$$ то симметричное решение теряет устойчивость и возникает ветвь асимметричных (локализованных) решений — симптоматика суперкритического (часто) pitchfork-бифуркации: энергия остаётся в одном из маятников (автолокализация). При ещё большей нелинейности возможны складные сценарии: saddle-node-бифуркации, внутренние резонансы (например 2:1), слабые и сильные нелинейные резонансы и переход к хаосу.
3) Как описывать и изучать формально.
- Многошкальный метод / усреднение даёт уравнения для медленных амплитуд/фаз и критические условия бифуркации.
- Нелинейные нормальные моды (NNM) и продолжение решения по параметру позволяют проследить ветвления (численный continuation, AUTO, MatCont).
- Для устойчивости — анализ Флоке (линеаризация вокруг периодического решения).
- При больших нелинейностях — прямая численная интеграция для выявления локализации, резонансов и хаотического поведения.
Краткая физическая формула критического уровня для симметрия‑разрушения:
$$A_{cr}^2\approx \frac{\Delta \omega }{\gamma }\text{(порядковая оценка)},$$ где $\Delta \omega ={\omega }_a-{\omega }_s$, $\gamma$ — коэффициент нелинейного сдвига частоты.
Если нужно, могу вывести уравнения медленного течения подробно (многошкальный вывод) или привести численный пример с конкретными параметрами.