Коротко: потому что кристалл — периодическая распределённая электронная плотность; её пространственное преобразование Фурье даёт набор дискретных импульсных компонент (рекварипрокальное решётка). Отражения наблюдаются только при выполнении условий Лоэ и Брэга; их интенсивности определяются структурным фактором (интерференцией волн, рассеянных отдельными атомами). Ниже — вывод и практическая схема.
1) Электронная плотность и её Фурье. Пусть в элементарной ячейке атомные мотивы с плотностями ${\rho }_j(\mathbf{r})$ в дробных координатах ${\mathbf{r}}_j$. Полная плотность
$$\rho (\mathbf{r})=\sum _{\mathbf{R}}\sum _j{\rho }_j(\mathbf{r}-\mathbf{R}-{\mathbf{r}}_j),$$ где $\mathbf{R}$ — векторы прямой решётки. Её преобразование Фурье даёт
$$\tilde{\rho }(\mathbf{q})=\sum _{\mathbf{G}}\delta (\mathbf{q}-\mathbf{G})F(\mathbf{G}),$$ т.е. спектр сосредоточен в точках обратной решётки $\mathbf{G}$. Здесь структурный фактор
$$F(\mathbf{G})=\sum _j{f}_j(\mathbf{G})e^{2\pi i\mathbf{G}\cdot {\mathbf{r}}_j},$$ где $f_j(\mathbf{G})$ — амплитуда рассеяния отдельного атома (атомный фактор), функция модуля вектора рассеяния.
2) Условие отражения (Лаue / Брэга). Рассеяние наблюдается, когда изменение волнового вектора $\mathbf{Q}={\mathbf{k}}_{\mathrm{out}}-{\mathbf{k}}_{\mathrm{in}}$ совпадает с вектором обратной решётки:
$$\mathbf{Q}=\mathbf{G}.$$ По связи с углом рассеяния получаем формулу Брэга через межплоскостное расстояние $d_{hkl}$:
$$2d_{hkl}\sin \theta =n\lambda ,|{\mathbf{G}}_{hkl}|=\frac{2\pi }{d_{hkl}}=\frac{4\pi \sin \theta }{\lambda }.$$
3) Интенсивность отражения. Амплитуда рассеяния для реального отражения пропорциональна $F(\mathbf{G})$, а измеряемая интенсивность, с учётом термического расплывания, равна примерно
$$I(hkl)\propto |F(hkl){|}^2{e}^{-2W}\times (\text{коррекции: геометрия, Лоренц–поляризация, поглощение}).$$ Дебай–Валлера фактор $e^{-2W}$ уменьшает интенсивность при тепловых колебаниях.
4) Атомный фактор. Атомная амплитуда — Фурье образ электронной плотности атома:
$$f_j(\mathbf{s})=\int {\rho }_j(\mathbf{r})e^{2\pi i\mathbf{s}\cdot \mathbf{r}}{d}^{3}r,$$ обычно зависит только от модуля $|\mathbf{s}|=\sin \theta /\lambda$ и берётся из таблиц (спадает с ростом $\sin \theta /\lambda$).
5) Систематические отсутствия. Если структурный фактор равен нулю для некоторых $(hkl)$ из-за геометрии базиса или трансляционно-симметричных операций, то соответствующих отражений нет. Примеры:
- BCC: атомы в (0,0,0) и (1/2,1/2,1/2) → разрешены только при $h+k+l=\text{чётное}$.
- FCC: атомы (0,0,0),(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0) → разрешены только если $h,k,l$ все чётные или все нечётные (иначе $F=0$).
Аналогично, скользящие плоскости и винтовые оси дают характерные отсутствия.
6) Как по измерениям восстановить структуру (алгоритм):
- индексировать пики → определить параметры ячейки и тип решётки;
- измерить интенсивности $I(hkl)$ и скорректировать (геометрия, поглощение, DW);
- получить модули структурных факторов $|F(hkl)|=\sqrt{I_{\mathrm{corr}}}$;
- решить проблему фаз (Patterson‑метод для тяжёлых атомов, прямые методы, молекулярный замок) и получить фазы $\varphi (hkl)$;
- восстановить электронную плотность по обратному преобразованию
$$\rho (\mathbf{r})=\frac{1}{V}\sum _{hkl}|F(hkl)|e^{2\pi i(hx+ky+lz)+i\varphi (hkl)}$$ и уточнить модель методом наименьших квадратов (позиции атомов, тепловые параметры).
Вывод: периодичность решётки даёт дискретную систему возможных векторов рассеяния (объясняет, почему отражения находятся в определённых направлениях), а амплитуды и отсутствия конкретных отражений определяются структурным фактором, который выражается через атомные амплитуды и их координаты; по измеренным интенсивностям и фазовым методам восстанавливают реальную структуру.