Коротко — какие механизмы и чем отличаются в вакууме и в вязкой среде.
Основная модель и параметры
- Уравнение затухающего гармонического осциллятора: $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$.
- Коэффициент демпфирования $c$, демпфирующее отношение $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}$, демпфирующая скорость $\gamma =\frac{c}{2m}$.
- Собственная (без потерь) угловая частота ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$; демпфированная частота ${\omega }_d={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$.
- Амплитуда и энергия убывают как $A(t)=A_0{e}^{-\gamma t}$, $E(t)=E_0{e}^{-2\gamma t}$.
- Добротность $Q=\frac{m{\omega }_0}{c}=\frac{1}{2\zeta }$.
Физические механизмы затухания
1. Внешняя вязкая сила (гидродинамическое сопротивление, аэродинамика): для малого числа Рейнольдса и сферического тела стоковский закон $F_d=-6\pi \eta Rv$ (линейно по скорости). При больших скоростей — квадратичное сопротивление $F_d\propto -\rho Av|v|$.
2. Внутреннее трение в пружине и материале (анеластичность, вязкоупругое поведение): приводит к диссипации энергии в теле пружины, часто моделируется как жесткость + вязкость (модель Кельвина–Фойгта или Гурс с комплексной жёсткостью).
3. Термоэлектрическое демпфирование (thermoelastic damping): локальные температурные градиенты при деформации и тепловое равновесие отнимают энергию колебаний.
4. Звуковое излучение (радиация акустической энергии) — важна при быстрых/высокоамплитудных колебаниях в газе/жидкости.
5. Анкерные/опорные потери (структурные потери, утечка энергии в основание системы через крепления).
6. Электромагнитный демпфер (в случае проводящих тел в магнитном поле — вихревые токи).
7. Газовый демпфинг в молекулярном режиме (при низком давлении, где средняя длина свободного пробега сравнима с размером — торможение от дискретных столкновений).
Сравнение ролей в вакууме и в вязкой среде
- Вакуум (низкое давление):
- Внешний гидродинамический демпфинг практически отсутствует; газовый вклад снижается пропорционально давлению.
- Доминируют внутренние механизмы: анеластичность пружины, термоэлектрическое демпфирование, анкерные потери, электромагнитные эффекты — эта комбинация обычно даёт высокие $Q$.
- В молекулярной области давления демпфинг зависит линейно от давления (газовые столкновения) до перехода в гидродинамический режим.
- В вязкой среде (газ при нормальном давлении, жидкость):
- Внешний вязкий демпфинг обычно доминирует; для малого Re — линейный по скорости (приближённо $c$ пропорционален вязкости $\eta$), для больших скоростей — нелинейный квадратичный закон.
- Поглощение среды может добавлять «добавочную массу» $m_a$, снижающую частоту: ${\omega }_0^{\prime }=\sqrt{\frac{k}{m+m_a}}$.
- В жидкостях и при больших амплитудах поведение демпфирования зависит от геометрии и может быть сильно нелинейным; $Q$ значительно меньше, затухание быстрее.
- Также важны акустическая радиация и вихревые потери в жидкости.
Как отличить механизмы экспериментально (кратко)
- Зависимость затухания от давления: если $Q$ растёт при откачке — внешний газовый/вязкий демпфинг важен.
- Зависимость от амплитуды: амплитудозависимое затухание указывает на нелинейный (квадратичный) дрэг.
- Частотная/температурная зависимость: внутренняя потеря и термоэлектрическая диссипация зависят от температуры и частоты по характерным законам.
- Смена частоты (падение $\omega$) при погружении в жидкость укажет на добавочную массу.
Короткое резюме
- В вакууме: основные источники затухания — внутреннее трение, термоэлектрическое демпфирование и опорные потери; $Q$ может быть высоким.
- В вязкой среде: внешнее вязкое сопротивление (гидродинамическое или аэродинамическое) и добавочная масса доминируют; затухание сильнее, часто нелинейно и чувствительно к геометрии и вязкости среды.