Кратко и по делу — какие термические сопротивления учитывать и как учесть конвекцию внутри слоёв.
1) Установившийся режим (стационарный)
- Сопротивление теплопроводности каждого твердого слоя:
$$R_{cond,i}=\frac{d_i}{k_{i}A},$$ где $d_i$ — толщина, $k_i$ — теплопроводность, $A$ — площадь.
- Контактные сопротивления (швы, плохо прилегающие поверхности):
$$R_{contact}\text{(включать при наличии)}.$$ - Поверхностные конвективные сопротивления на границах:
$$R_{conv}=\frac{1}{h_{conv}A}.$$ - Лучистый обмен (между близко расположенными поверхностями/щелями): линейризованное сопро­тивление через коэффициент лучистого теплообмена
$$h_r=\frac{\sigma (T_1^4-T_2^4)}{T_1-T_2}\cdot \frac{1}{(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_2}-1)}\approx \frac{4\sigma T_m^3}{(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_2}-1)},$$ и $R_{rad}=1/(h_{r}A)$. Для итогового поверхностного теплообмена используют
$$h_{tot}=h_{conv}+h_r,R_{surf}=1/(h_{tot}A).$$ - Газовые промежутки и пористые слои: можно либо вводить эквивалентную теплопроводность
$$k_{eff}=k_{cond}+k_{rad}+k_{conv\_in\_gap},$$ и тогда $R_{gap}=d/(k_{eff}A)$, либо моделировать как конвективное сопротивление $R=1/(h_{gap}A)$ (см. ниже про вычисление $h_{gap}$).
2) Переходный режим (временной)
- Тепловая ёмкость слоя:
$$C_i={\rho }_i{c}_{p,i}{V}_i={\rho }_i{c}_{p,i}A{d}_i.$$ - Термический диффузионный коэффициент и характерное время:
$${\alpha }_i=\frac{k_i}{{\rho }_i{c}_{p,i}},t_{diff}\sim \frac{d_i^2}{{\alpha }_i}.$$ - Биота для решения возможности приближения "сосредоточенной ёмкости":
$$Bi=\frac{h{L}_c}{k},L_c=\frac{V}{A}(\text{обычно}{L}_c=d/2\text{или}d).$$ При $Bi<0.1$ — можно использовать lumped-capacitance: температура слоя меняется как $\tau =\frac{C}{hA}$. При $Bi\gtrsim 0.1$ — требуется решать распределённую уравнение нестационарной теплопроводности (метод конечных разностей/элементов, RC‑сеть с несколькими узлами, аналитические ряды/Heisler).
- В переходном режиме учитывать те же стационарные сопротивления на границах и контактах плюс инерцию (ёмкости) в RC‑сети: для i‑го узла уравнение вида
$$C_i\frac{d{T}_i}{dt}=\sum \frac{T_j-T_i}{R_{ij}}.$$
3) Учет конвекции внутри слоёв (газовые щели, пористые слои)
- Для газового зазора сначала оценить число Релея:
$$Ra=\frac{g\beta \Delta T{d}^3}{\nu \alpha },$$ где $d$ — толщина зазора, $\beta$ — коэффициент теплового удлинения (≈$1/T$ для идеального газа), $\nu$ — кин. вязкость, $\alpha$ — термодифузия.
- Если $Ra$ ниже критического (порядка $10^3$–$10^4$, в зависимости от геометрии), естественная конвекция подавлена → используем чистую проводимость + лучистость.
- Если конвекция развита, вычисляют Nusselt $Nu$ по соответствующей корреляции (геометрия: вертикальные/горизонтальные/наклонные пластины, аспекты щели). Пример общей связи:
$$Nu=f(Ra,Pr,\text{геометрия}).$$ Затем $h_{gap}=\frac{Nu{k}_{gas}}{d}$ и $R_{gap}=1/(h_{gap}A)$ или $k_{eff}=Nu{k}_{gas}$ и $R=d/(k_{eff}A)$.
- Для пористых волокнистых/сталих изоляций: использовать модели эффективной теплопроводности (Maxwell–Eucken, Zehner–Bauer–Schlünder и т.п.) плюс лучистая составляющая. Если через пористый слой возможна макроскопическая фильтрация/конвекция (высокая проницаемость и перепад давления), добавить адвективный член: сравнить Péclet $Pe=ud/\alpha$. При $Pe\ll 1$ адвекция несущественна.
- Практические правила:
- Для зазоров $d<5$–$10$ мм обычно можно пренебречь естественной конвекцией (контролируется Ra) и моделировать как проводимость+радиацию.
- Для больших зазоров использовать корреляции Nu; для вертикального щелевого канала часто применяют аппроксимации вида $Nu\approx CR{a}^n$ (константы зависят от диапазона $Ra$).
- В сложных/нестационарных случаях строят многоконтурную RC‑модель: внутренние узлы для слоёв (ёмкости) и для газовых щелей — либо эквивалентный $k_{eff}$, либо $h_{gap}$ вычисленный по Nu(Ra).
4) Практическая последовательность расчёта
- Задать геометрию, материалы, граничные температуры/потоки.
- Для каждого слоя: определить $R_{cond}$ и $C$.
- Оценить поверхности: $h_{conv}$ и $h_r$ → $h_{tot}$.
- Для газовых/пористых слоёв: вычислить $Ra$ и/или $Pe$. Если конвекция возможна — найти $Nu$ → $h_{gap}$; иначе — $k_{eff}=k_{gas}+k_{rad}$.
- Для стационарной задачи сложить последовательные сопротивления: $R_{tot}=\sum R_{cond}+\sum R_{contact}+R_{surf}$.
- Для переходной задачи собрать RC‑сеть (узлы/ёмкости) и решить ОДУ/СЛАУ или использовать численные схемы.
Замечания: свойства $k,\rho ,c_p,h,\epsilon$ зависят от температуры; радиация нелинейна — в широком диапазоне температур предпочтительна итеративная линейзация.