Для того чтобы определить удлинение пружины, необходимо рассмотреть равновесие системы в каждый момент времени.

Обозначим через V объём цилиндра, через V1 – объём цилиндра, погруженного на 2/3 объёма в жидкость плотности ro2, через V2 – объём пружины, который согласно закону Архимеда равен объёму выталкиваемой жидкости, через V3 – объём цилиндра, погруженного на 1/6 объёма в жидкость плотности ro3. Обозначим через Н упругую силу пружины, через mg – силу тяжести, через Fарх – силу Архимеда.

Поскольку тело плавает, сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Это означает, что сумма сил упругости, сил Архимеда и силы тяжести равна нулю:

Н - mg + Fарх = 0. (1)

Силу упругости Н можно представить в виде Н = kΔl, где k – коэффициент жёсткости пружины, Δl – удлинение пружины. Таким образом, уравнение (1) примет вид:

kΔl - mg + Fарх = 0. (2)

Так как сила Архимеда определяется по формуле Fарх = ro2|g|V1, где |g| - модуль ускорения свободного падения, то это уравнение можно переписать в виде:

kΔl - mg + ro2|g|V1 = 0. (3)

Также из условия мы знаем, что V3 = V - V1, поэтому объём выталкиваемой пружиной жидкости равен объёму цилиндра, погруженного на 1/6 своего объёма в жидкость плотности ro3. Это означает, что V2 = V3.

Исходя из этого, можем записать уравнение для силы Архимеда в точке, когда цилиндр находится в менькой жидкости:

Fарх = ro3|g|(V1 + V3) = ro3|g|(V1 + (V - V1)) = ro3|g|*V. (4)

Таким образом, подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получаем уравнение для определения удлинения пружины:

kΔl - mg + ro2|g|V1 - ro3|g|V = 0.

Решив данное уравнение, можно найти удлинение пружины.