Пусть a, b, c - катеты прямоугольного треугольника основания пирамиды. Тогда из условия видим, что угол между грани пирамиды и плоскостью основания 60°, а угол наклона образующей к плоскости основания 45°.

Так как треугольник прямоугольный, то катеты a и b образуют угол 90°. Также из условия задачи, катет a равен одной из боковых граней конуса, то есть a = 9 см.

Используем тригонометрические формулы для нахождения катетов b и c:
tg 60° = c / b
tg 45° = c / 9

Отсюда находим, что c = 9 * tg 45° = 9 см. Также находим, что b = c / tg 60° = 9 / tg 60° см.

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = 1/3 S_осн h,
где S_осн - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь прямоугольного треугольника основания равна S_осн = 1/2 a b = 1/2 9 (9 / tg 60°),
значит S_осн = 40.5 см^2.

Также из геометрии пирамиды видим, что высота пирамиды равна h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{81 + \frac{81}{tg^2 60°}}.

Произведем вычисления:
h = \sqrt{81 + \frac{81}{(sqrt{3})^2}} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} см.

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = 1/3 40.5 6\sqrt{3} = 81\sqrt{3} см^3.

Ответ: объем пирамиды равен 81\sqrt{3} см^3.