Для решения данной задачи обратим внимание, что трапеция ABCD является равнобедренной, так как ее боковые стороны параллельны и середины диагоналей совпадают.

Пусть точка M лежит на стороне AD, а точка N на стороне BC.

Так как M и N являются серединными точками диагоналей, то AM = MC и BN = ND.

Так как трапеция ABCD является равнобедренной, то CM = ND.

По условию, AD = 19 см и BC = 3 см.

Таким образом, AM = MC = 19 / 2 = 9.5 см

BN = ND = 3/2 = 1.5 см

Из прямоугольного треугольника AMN можно выразить длину отрезка MN по теореме Пифагора:

MN^2 = AN^2 + AM^2

MN^2 = (AD - ND - AM)^2 + AM^2

MN^2 = (19 - 1.5 - 9.5)^2 + 9.5^2

MN^2 = 8^2 + 9.5^2

MN^2 = 64 + 90.25

MN^2 = 154.25

MN ≈ √154.25 ≈ 12.43 см

Итак, длина отрезка MN составляет около 12.43 см.