Обозначим длину хорды через l.

Из условия задачи мы знаем, что угол между линией, соединяющей центр основания конуса с серединой хорды, и этой хордой, равен β. Так как это угол, опирающийся на окружность, то у нас получается равнобедренный треугольник, и угол между радиусом и хордой равен β/2.

Также у нас есть равнобедренный треугольник с вершиной в вершине конуса, со стороной r (радиусом основания) и углом γ при вершине. Тогда угол между радиусом и хордой равен γ/2.

Из формулы для длины хорды через радиус и угол:
l = 2Rsin(β/2) = 2Rsin(γ/2).

Теперь найдем расстояние от центра основания до середины хорды с помощью косинуса угла между радиусом и линией, соединяющей центр и середину хорды:
d = Rcos(β/2).

Теперь, зная длину хорды и расстояние от центра основания до середины хорды, мы можем найти высоту конуса:
h = √(l^2 - d^2) = √(4R^2sin^2(β/2) - R^2cos^2(β/2)) = R√(4sin^2(β/2) - cos^2(β/2)) = R√(4 - cos^2(β/2)).

Теперь можем вычислить объем конуса:
V = (1/3)πR^2h = (1/3)πR^2(R√(4 - cos^2(β/2))),
V = (1/3)πR^3√(4 - cos^2(β/2)).

Таким образом, объем конуса равен (1/3)πR^3√(4 - cos^2(β/2)).