Пусть h - высота конуса, R - радиус основания конуса.

Так как образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом a, то получаем, что h = R * tg(a).

Также, так как в конус вписан шар, то его радиус r = R / 3.

Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания конуса равна πR^2, а площадь боковой поверхности конуса равна πRl, где l - образующая конуса.

Найдем l. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом шара, образующей и линией, соединяющей центр шара с вершиной конуса, имеем:

R^2 + r^2 = l^2,
R^2 + (R/3)^2 = l^2,
R^2 + R^2/9 = l^2,
9R^2 + R^2 = 9l^2,
10R^2 = 9l^2,
l = R*sqrt(10)/3.

Теперь можем найти полную поверхность конуса:

S = πR^2 + πRl,
S = πR^2 + πRRsqrt(10)/3,
S = πR^2 + πR^2*sqrt(10)/3,
S = πR^2(1 + sqrt(10)/3).

Таким образом, полная поверхность конуса равна πR^2(1 + sqrt(10)/3).