Площадь полной поверхности куба равна сумме площадей его граней.

Поскольку AB = A1B1 = CD = C1D1, то треугольники ABC и A1B1C1 равнобедренные, а значит, AK = KP = 1/2 A1D1.
Из условия задачи площадь треугольника KDP равна 6:
6 = (DP KP) / 2
6 = (DP 1/2 A1D1) / 2
6 = (DP A1D1) / 4
DP A1D1 = 24

Теперь найдем площадь полной поверхности куба. Он состоит из 6 граней: 4 квадрата с площадью a^2 и 2 прямоугольных равнобедренных треугольника.

Поскольку точки К и Р - середины ребер, то AK = KP = 1/2 AD1 и соответственно площадь треугольника D1KP равна S1 = (1/2 AD1) (1/2 A1D1) = 1/2 DP * A1D1 = 12.

Площадь одной грани куба равна S2 = S1 + p^2, где p - сторона куба.
Отсюда p = sqrt(24 + 1^2) = sqrt(25) = 5.

Теперь найдем площадь полной поверхности куба: S = 6 S2 = 6 (12 + 5^2) = 6 * 37 = 222.

Ответ: площадь полной поверхности куба равна 222.