Дано, что вписанная окружность касается сторон треугольника в точках D, E и F. Проведем линии, соединяющие центр окружности с вершинами треугольника, обозначим точки их пересечения с окружностью как G, H и I.

Таким образом, треугольник АDI является прямоугольным, так как сторона AD - радиус окружности, проведенный к точке касания D, а также сторона AI и сторона DI соответствуют радиусу окружности. Таким образом, по теореме Пифагора:
AD^2 + DI^2 = AI^2
AD^2 + r^2 = (AI - r)^2
r^2 = AI^2 - 2 AI r
r^2 = (AH + HI)^2 - 2 (AH + HI) r
r^2 = AH^2 + 2 AH HI + HI^2 - 2AHr - 2 HIr
r^2 = r^2 + 2 AH HI + HI^2 - 2AHr - 2 HIr
0 = 2 AH HI + HI^2 - 2AHr - 2 HIr
0 = 2 HI(AH - r) + HI^2 - 2 AHr
HI^2 = 2AHr - 2HI(AH - r)
HI^2 = 2AHr - 2HI AI

Из предыдущего уравнения можно сделать вывод, что AH HI = AI HI - r HI = AI r, или AI r = AH HI

Так как AI и AH являются катетами, а гипотенуза IF тоже пройдет через центр окружности, то по теореме Пифагора:
AI^2 + IH^2 = AH^2
r^2 + IH^2 = AH^2
AIr + IH^2 = AH^2
AH = √(AI r + IH^2)

Теперь, найдем значения AI и IH. Пусть радиус окружности будет r, а BD, BE и CF будут высотами, опущенными из вершин на стороны треугольника. Заметим, что треугольники ABC и DEF подобны, так как у них соответствующие углы равны (угол BAC = угол DEF, угол ABC = угол DFE, угол ACB = угол EFD), значит их стороны пропорциональны.

Теперь, найдем AD, так как AD = r, по теореме Пифагора:
AD^2 + BD^2 = AB^2
r^2 + BD^2 = 13^2
BD^2 = 13^2 - r^2
BD = √(13^2 - r^2)

Как известно, BD = BE, так как треугольник ABC равнобедренный, поэтому:
BE = √(13^2 - r^2)

Из подобия треугольников ABC и DEF мы знаем, что он равен:
AB/DE = r/ IF

Поскольку AB = 14, DE = BD + BE = 2BE, то:
14/2BE = r/IF
14/(2√(13^2 - r^2)) = r/IF
IF = 14/(2√(13^2 - r^2))
IF = 7/(√(13^2 - r^2))

Теперь вставим все значения в уравнение:
AH = √(AI r + IH^2)
AH = √(r^2 + 14 7/(√(13^2 - r^2)))^2)
AH = √(r^2 + 98/(√(13^2 - r^2)))^2)
AH = r + 7√(13^2 - r^2)/(√(13^2 - r^2))
AH = r + (7*13 - 7r)/13
AH = r + (91 - 7r)/13
AH = r + 91/13 -7r/13
AH = 91/13

Таким образом, найденное расстояние от центра вписанной окружности до точки А равно 91/13.