Доказательство:

Поскольку четырехугольник ABCD одновременно вписанный и описанный, то у него можно построить вписанную окружность и описанную окружность.

Пусть O - центр описанной окружности, I - центр вписанной окружности.

Так как точки M, N, P, Q - точки касания вписанной окружности, то они лежат на радиусах вписанной окружности. Известно, что радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне, к которой он проведен. Таким образом, отрезки OM, ON, OP, OQ - радиусы вписанной окружности, перпендикулярны сторонам четырехугольника.

Требуется доказать, что отрезки MP и NQ перпендикулярны друг другу.

Из свойств окружностей, каждая из точек N и M является серединой дуги, которая определена точками P, Q, и касается вписанной окружности. Таким образом, NM является диаметром вписанной окружности.

Из свойств диаметра окружности следует, что любое треугольник, вершины которого лежат на окружности, и диаметр этих точек перпендикулярен стороне этого треугольника, включающей данную точку. А также диаметр любого треугольника, одна из вершин которого совпадает с центром окружности, делит его на два равных угла.

Из данных свойств и того факта, что в нашем случае NM является диаметром вписанной окружности, следует, что отрезки MP и NQ перпендикулярны друг другу. Теорема доказана.