Для доказательства равенства высот, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, обратимся к свойству равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой этого треугольника.

Дано, что треугольник равнобедренный со сторонами a, a, b (где a - основание, b - боковая сторона, а также c - основание) и углом при вершине 150°.

Проведем высоты AD и BE из вершины треугольника на боковые стороны. Так как треугольник равнобедренный, то AD и BE являются медианами и биссектрисами треугольника.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ABE. У них углы DAB и EAB равны и равны по 15°. Также у них стороны AD и BE равны, так как они являются медианами и биссектрисами соответственно.

Таким образом, по стороне и двум углам треугольники ABD и ABE равны. Следовательно, по свойству равенства треугольников, высоты AD и BE равны.

Таким образом, высоты, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника с углом 150° при вершине, равны.