1) Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед, грани которого пересекаются. Рассмотрим две пересекающиеся грани и проведем через их пересечение прямую. Эта прямая будет лежать на обоих плоскостях граней параллелепипеда. Так как прямая лежит на двух плоскостях, она будет перпендикулярна к обеим плоскостям, а значит, грани перпендикулярны.

2) Пусть у нас есть куб A…D1, а также две плоскости диагональных сечений AB1 C1 D и BA1 D1 C. Рассмотрим ось, проходящую через центр куба (точку пересечения диагоналей) и перпендикулярную к плоскости диагонального сечения AB1 C1 D. Так как эта ось перпендикулярна к плоскости диагонального сечения, она будет также перпендикулярна ко всем линиям, лежащим в этой плоскости, включая диагонали куба. Аналогично, ось, проходящая через центр куба и перпендикулярная к плоскости диагонального сечения BA1 D1 C, будет перпендикулярна ко всем линиям, лежащим в этой плоскости. Таким образом, эти две оси будут перпендикулярны между собой, а значит, плоскости диагональных сечений перпендикулярны.