Обозначим точку пересечения прямых AD и BC за P.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то BD = AC. Рассмотрим треугольники BDK и ACP. Угол KBD равен углу ACP, так как они соответственные при параллельных прямых. Угол KDB равен углу PAC, так как это углы, вписанные в полуокружность. Таким образом, эти треугольники подобны по углам.

Из подобия треугольников BDK и ACP следует, что BK/AC = KD/CP = BD/AP, то есть AP = BD.

Теперь рассмотрим четырехугольник AKPN. Угол AKN равен углу ANP, так как они соответственные при параллельных прямых. Угол AKP равен углу ANP, так как это углы, вписанные в полуокружность. Таким образом, треугольник KPN – равнобедренный.

Так как прямая BC касается описанной окружности трапеции ABCD, то углы между BC и AD равны углами между BC и MN, то есть между AD и MN. Таким образом, треугольник KMN подобен треугольнику KPN.

Из подобия треугольников KMN и KPN следует, что KM/PN = KN/KP. Учитывая, что KP = KN, получаем, что KM = PN. То есть треугольник KMN – равнобедренный.

Теперь рассмотрим четырёхугольник AKPM. Так как он равнобедренный, то AK = PM. Также из равенства углов AKP и PAC и равенства углов PMN и PCN следует, что углы AKP и PMN равны. Значит, AKPM – трапеция.

Так как основания этой трапеции равны, то она – равнобедренная. Поэтому AK = PM = BD = AP.

Таким образом, прямая AD касается описанной окружности треугольника KMN в точке А.