Пусть данное угол обозначается как (\alpha), а угол между биссектрисой и лучом как (\beta).
Так как луч перпендикулярен биссектрисе, угол между лучом и стороной угла также равен (\beta).
Из условия острого угла между лучом и стороной угла следует, что (\alpha + \beta < 90^\circ).
Из условия равенства углов в треугольнике следует, что (\alpha = 2\beta).

Подставляя (\alpha = 2\beta) в неравенство (\alpha + \beta < 90^\circ), получим:
(2\beta + \beta < 90^\circ),
(3\beta < 90^\circ),
(\beta < 30^\circ).

Так как угол (\beta) является острым, то максимальное значение (\beta) равно 29 градусов, а соответственно угол (\alpha = 2\beta) равен 58 градусам.

Ответ: угол (\alpha) равен 58 градусам.