Для начала найдем высоту треугольной пирамиды, опирающуюся на острый угол боковой грани.

Пусть h - высота пирамиды, a - длина стороны основания треугольника, α - угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Известно, что tg(α) = h / (a/2). Находим tg(α) = tg(arccos(3/5)) ≈ tg(53.13°) ≈ 1.25

Также, из условия задачи следует, что стороны основания равны 10, 10 и 12, поэтому можно предположить, что треугольник со сторонами 10, 10 и 12 сохраняет изначальную форму и является проекцией боковой грани пирамиды на плоскость основания.

Левая и правая части создаваемого треугольника равны, так что a/2 = 10.

Отсюда h = 2 tg(α) 10 = 25

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна 25 см.