Для начала найдем угол, противолежащий стороне, которую нужно найти.

Пусть A, B, C - вершины треугольника, AC - противолежащая сторона. Тогда sin(A + B) = 1/7.

Запишем формулу для синуса суммы углов:
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB.

Так как у нас треугольник дан, то сумма углов равна 180 градусам, поэтому A + B + C = 180. Выразим B через C:
B = 180 - A - C.

Теперь подставим B в формулу для синуса суммы углов:
sin(A + 180 - A - C) = sinAcos(180 - A - C) + cosAsin(180 - A - C),
sin(180 - C) = sinA(-cosC) + cosA(-sinC),
sin(C) = -sinAcosC - cosAsinC.

Так как sin(C) = 1/7, то у нас получается уравнение:
1/7 = -sinAcosC - cosAsinC.

Теперь рассмотрим треугольник, вписанный в окружность радиуса 14 см. Пусть a, b, c - стороны треугольника, противолежащие углам A, B, C соответственно. Тогда мы можем записать формулу для радиуса описанной окружности:
R = abc / (4 S), где S = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c)), p - полупериметр.

Подставим известные значения:
14 = ac / (4 * S).

Так как S = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c)), то:
S = sqrt((a + c) (a + c - a) (a + c - c) (a + c - b)),
S = sqrt(ac c a (a + c - b)),
S = sqrt(a^2 c^2 - abc^2).

Подставляем данное выражение для S в уравнение для радиуса:
14 = ac / (4 sqrt(a^2 c^2 - abc^2)),
196 = a^2 * c^2 - abc^2.

Теперь подставим это уравнение в уравнение, полученное после нахождения sin(C):
1/7 = -sinAcosC - cosAsinC,
1/7 = -sinAcosC - cosAsqrt(1 - sin^2(C)).

Подставляем значения sin(C) и abc:
1/7 = -sinAc / 14 - cosAsqrt(1 - 1/49),
1/7 = -sinAc / 14 - cosAsqrt(48/49),
1/7 = -sinA*c / 14 - 4cosA / 7.

Теперь мы имеем два уравнения относительно a и c:
196 = a^2 c^2 - ac b c,
1/7 = -sinAc / 14 - 4cosA / 7.

Решив данную систему уравнений, найдем сторону треугольника, противолежащую третьему углу.