Пусть у нас есть два равносторонних треугольника ABC и DEF, высоты которых равны.

Так как треугольник ABC равносторонний, то у него все стороны равны между собой: AB = AC = BC.
Аналогично, треугольник DEF также равносторонний, следовательно, DE = DF = EF.

Рассмотрим основания высот треугольников: это отрезки BI и EK.

Поскольку высоты треугольников равны, то BI = EK.

Так как треугольники ABC и DEF прямоугольные на основаниях BI и EK соответственно, а также имеют равные гипотенузы, равные двум высотам, то они равны между собой по гипотенузе и катетам по теореме о гипотенузе.

Таким образом, равносторонние треугольники равны, если их высоты равны.