Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

S = 0.5 a h,

где a - основание треугольника, h - высота треугольника.

Из условия задачи нам известно, что основание треугольника равно 13, и высота равна отрезку прямой, соединяющий середины основания и стороны. Так как это равнобедренный треугольник, то этот отрезок делит сторону, на которой он лежит, на две равные части.

Таким образом, получаем правильный треугольник со стороной основания 13 и стороной, проходящей через середины основания.

Чтобы найти площадь такого треугольника, нужно разделить его на два прямоугольных треугольника. Для нахождения площади каждого прямоугольного треугольника можем воспользоваться формулой:

S = 0.5 c h,

где c - катет, h - высота, а также используем теорему Пифагора для нахождения длины катета.

13^2 = c^2 + (13/2)^2,
169 = c^2 + 169/4,
c^2 = 169 - 169/4,
c^2 = 3 * 169/4,
c^2 = 507/4,
c = sqrt(507)/2.

Теперь можем найти площадь одного прямоугольного треугольника:

S1 = 0.5 sqrt(507)/2 13/2,
S1 = 0.5 sqrt(507) 13/4,
S1 = 13/8 * sqrt(507).

Итак, площадь равнобедренного треугольника равна удвоенной площади одного прямоугольного треугольника:

S = 2 S1,
S = 2 13/8 sqrt(507),
S = 13/4 sqrt(507).