Площадь 4-угольника MNKP равна сумме площадей треугольников MNP и MKP.

Площадь треугольника MNP равна половине произведения его сторон умноженной на синус угла между ними, то есть

S_MNP = (1/2) MN MP * sin(alpha),

где alpha - угол между сторонами MN и MP.

Так как соотношение сторон треугольника MNK равно 7:6, то можем написать, что

NK = 7x, MP = 6x.

Также известно, что PK на 6 см больше MN:

PK = MN + 6 = 7x + 6.

Также известно, что вписанный четырехугольник равен сумме площадей треугольников MNP и MKP:

S_MNKP = S_MNP + S_MKP = (1/2) MN MP sin(alpha) + (1/2) MP PK sin(beta).

Так как MKP - прямоугольный треугольник, то MP - гипотенуза:

MP^2 = MN^2 + NK^2,

(6x)^2 = MN^2 + (7x)^2,

36x^2 = (MN + 6)^2 + 49x^2,

36x^2 = (7x + 6)^2 + 49x^2,

36x^2 = 49x^2 + 84x + 36 + 49x^2,

36x^2 = 98x^2 + 84x + 36,

62x^2 - 84x - 36 = 0.

Решив это квадратное уравнение, найдем значение x. После чего можем найти стороны MN, NK, MP, PK.