Треугольники ABD и CBD равны по стороне AD, общей BC, и углам BCD и ADB -- к ним относятся равенства:

AD=CD (высоты, проведенные к гипотенузе AC треугольников ABC и ACB),
BD=BD (общая сторона),
Угол BCD=90-(180-C)=90*-A=ADB. В итоге треугольники ADB и BCD равны по 2 сторонам и углу между ними.

Треугольник ABC -- прямоугольный треугольник с углом B=60. По условию AC=10 см. Рассмотрим равносторонний треугольник BCD, где D -- середина гипотенузы AB. Он равнобедренный, BC=CD, угол BCD=60. Тогда угол CBD=60/2=30. Треугольник BCD -- прямоугольный, поэтому у него угол CDB=90-BCD=90-30=60. Тогда, по теореме синусов, CD=BCsin60=10sqrt(3)/2=5sqrt(3). Таким образом, расстояние от вершины C до гипотенузы AB равно 5*sqrt(3) см.