наиболее удаленная от точки C. Докажите, что сумма длин отрезков AC и BC больше длины отрезка AB.

Доказательство:

Пусть D - середина отрезка AB, а E - середина отрезка MN. Так как отрезок MN является диаметром окружности, то угол AEB прямой.

Так как точка A наиболее удаленная от точки C, то треугольник ACD прямоугольный, также как и треугольник BCE (по свойству окружности).

По теореме Пифагора:
AC^2 = AD^2 + CD^2,
BC^2 = BD^2 + CD^2.

Так как ABED - прямоугольник, то AD = BD = DE. Таким образом, AC^2 = DE^2 + CD^2,
BC^2 = DE^2 + CD^2.

Следовательно, сумма квадратов отрезков AC и BC равна удвоенному квадрату DE и квадрату CD:
AC^2 + BC^2 = 2(DE^2) + 2(CD^2).

По теореме Пифагора в треугольнике ECD получаем, что DE^2 = EM^2 + CM^2 (где EM = 1/2 MN = 1/2),
таким образом, DE^2 = CM^2 + 1/4.

Подставив это значение в выражение AC^2 + BC^2, получаем:
AC^2 + BC^2 = 2(CM^2 + 1/4) + 2(CD^2),
AC^2 + BC^2 = 2CM^2 + 1/2 + 2CD^2.

Из прямоугольности угла AEB следует, что CM = CD. Поэтому выражение примет вид:
AC^2 + BC^2 = 4CD^2 + 1/2.

С учетом того, что AB = 2CD, получаем:
AC^2 + BC^2 = 2AB^2 + 1/2.

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов отрезков AC и BC больше квадрата отрезка AB:
AC^2 + BC^2 > AB^2.