Пусть треугольник ABC, где высота проведена к стороне AB и делит ее пополам в точке H. Тогда AH = BH = 9 см.

Так как высота делит сторону AB пополам, то треугольник ABH является равнобедренным.

Пусть AC = c, BC = a, AB = b.

Тогда из равнобедренности треугольника ABH, можем записать:

AH^2 + c^2 = a^2,
9^2 + c^2 = 18^2,
81 + c^2 = 324,
c^2 = 243,
c = √243 = 3√27 = 3 * 3√3 = 9√3.

Теперь с помощью теоремы Пифагора найдем сторону AC:

AC^2 = AH^2 + CH^2,
AC^2 = 9^2 + 12^2,
AC^2 = 81 + 144,
AC^2 = 225,
AC = √225 = 15.

Таким образом, периметр треугольника ABC будет равен:

P = AB + AC + BC = 18 + 15 + 9√3 = 33 + 9√3.

Ответ: Периметр треугольника равен 33 + 9√3 см.