Для нахождения объема пирамиды необходимо воспользоваться формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Площадь основания равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

S = (a^2 * sqrt(3)) / 4,

где а - длина стороны треугольника.

Дано, что сторона треугольника равна 10 см, поэтому площадь основания:

S = (10^2 sqrt(3)) / 4 = (100 sqrt(3)) / 4 = 25 * sqrt(3) см^2.

Также, дано, что боковые грани образуют угол 45 градусов, поэтому можно составить прямоугольный треугольник с катетом в 10 см и гипотенузой в 12 см. Тогда высота пирамиды равна:

h = c sin(alpha) = 12 sin(45) = 12 (sqrt(2) / 2) = 6 sqrt(2) см.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) S h = (1/3) 25 sqrt(3) 6 sqrt(2) = 150 * sqrt(6) см^3.

Таким образом, объем пирамиды равен 150 * sqrt(6) кубических сантиметров.