Для доказательства этого факта рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем медианы AD, BE и CF, где D, E и F – середины сторон BC, AC и AB соответственно.

Для начала докажем, что точка пересечения медиан существует. Предположим, что медианы не пересекаются в одной точке. Тогда попытаемся построить треугольник, удовлетворяющий условию, но без общей точки пересечения медиан.

Для этого одну из медиан (например, медиану AD) продлим за точку D так, чтобы она пересекала сторону AC в точке G. Теперь точка G – это середина отрезка AC, поэтому AG = GC.

Теперь, так как медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, то AG = GD. Но AG = GC, следовательно GD = GC.

Но тогда треугольник GCD является равнобедренным, так как GC = GD, а значит CD = CG, что противоречит тому, что D – середина стороны BC. Получили противоречие, следовательно, медианы пересекаются в одной точке.

Теперь докажем, что эта точка пересечения каждую медиану делит в отношении 2:1. Рассмотрим треугольник ABC и проведем медиану CF. Точка пересечения медиан называется точкой пересечения медиан и обозначается M.

Так как D и F – середины сторон BC и AB соответственно, то CF параллельна стороне AB. По теореме Таллера, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины).

Аналогично можно доказать для остальных медиан. Таким образом, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.