Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.
Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим стороны трапеции ABCD: AD = a, BC = b, AB = c, CD = d.
По условию, радиусы вписанных окружностей образуют соотношение:
r : r(abc) : r(acd) = 9 : 4 : 6.
Так как радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его остроугольного катета, то можно записать следующие равенства по теореме Пифагора:
r = 1/2(a+c-d),
r(abc) = 1/2(a+b-c),
r(acd) = 1/2*(d+b-c).
Из условия имеем систему уравнений:
1/2*(a+c-d) = 9k,1/2*(a+b-c) = 4k,1/2*(d+b-c) = 6k.Решив эту систему, получим:
a = 36k,
b = 28k,
c = 8k,
d = 32k.
Таким образом, соотношения между сторонами трапеции ABCD будут:
AB:BC:CD:AD = 8:28:32:36 = 2:7:8:9.