Для того, чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины C на сторону AB треугольника, нужно использовать формулу для расстояния между точкой и прямой.

Сначала найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(4, -14) и B(12, -8). Для этого найдем угловой коэффициент прямой:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
k = (-8 - (-14)) / (12 - 4)
k = 6 / 8
k = 0.75

Теперь используем найденный угловой коэффициент и точку C в уравнении прямой, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку C(?, ?) перпендикулярно прямой AB:

y - y1 = -1/k (x - x1)
y - (-14) = -1/0.75 (x - 4)
y + 14 = -4/3 (x - 4)
y + 14 = -4/3 x + 16/3

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с прямой AB, чтобы найти координаты точки пересечения D(x, y). Подставляем уравнения прямых для AB и CD и решаем систему уравнений:

1) y = 0.75x - 17
2) y = -4/3x + 46/3

Теперь найдем расстояние между точками C и D, что и будет являться длиной высоты, опущенной из вершины C на сторону AB. Используем формулу для расстояния между точками:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Где (x1, y1) - координаты точки C, а (x2, y2) - координаты точки D.

d = sqrt((x2 - 12)^2 + (y2 - (-8))^2)