Для начала найдем боковые грани пирамиды, используя теорему Пифагора:

$a^2+h^2=s^2$

$a^2+4^2=(6\sqrt{3}{)}^2$

$a^2+16=108$

$a^2=92$

$a=2\sqrt{23}$

Теперь найдем радиус вписанной сферы. Поскольку вписанная сфера касается всех боковых граней, то радиус вписанной сферы будет равен расстоянию от вершины пирамиды до центра основания, деленного на 3.

Рассмотрим правильный треугольник, образованный расстоянием от вершины пирамиды до центра основания и радиусом основания:

$\tan (\frac{\pi }{3})=\frac{\frac{2}{3}r}{h}$

$\sqrt{3}=\frac{\frac{2}{3}r}{4}$

$r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Наконец, найдем радиус описанной сферы. Поскольку описанная сфера проходит через вершины пирамиды, то радиус описанной сферы равен расстоянию от вершины пирамиды до центра основания:

$R=\frac{h}{3}=\frac{4}{3}$