Для начала найдем координаты вершины M треугольника ABC, которая является серединой стороны AC. Для этого вычисляем среднее арифметическое координат x и y вершин A и C:

xM = (xA + xC) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0
yM = (yA + yC) / 2 = (2 + 1) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Таким образом, вершина M имеет координаты (0, 1.5).

Теперь найдем уравнение медианы AM, проходящей через вершины A и M. Уравнение прямой в общем виде имеет вид y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - свободный член. Найдем угловой коэффициент k:

k = (yM - yA) / (xM - xA) = (1.5 - 2) / (0 - (-2)) = -0.5 / 2 = -1/4

Теперь подставим координаты вершины A (-2, 2) в уравнение прямой y = -1/4x + b и найдем b:

2 = -1/4 * (-2) + b
2 = 1/2 + b
b = 2 - 1/2 = 3/2

Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид y = -1/4x + 3/2.

Теперь найдем уравнение высоты BD, проходящей через вершины B и D. Вершина D это основание высоты, которое перпендикулярно стороне AC и проходит через вершину B.

Найдем уравнение прямой, проходящей через B (3, 4) и перпендикулярной к стороне AC. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой можно представить в виде -1 / k, где k - угловой коэффициент стороны AC:

k = (yC - yA) / (xC - xA) = (1 - 2) / (2 - (-2)) = -1 / 4

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен 4.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 4 имеет вид y = 4x + b. Подставим координаты вершины B (3, 4) в уравнение и найдем b:

4 = 4 * 3 + b
4 = 12 + b
b = 4 - 12 = -8

Таким образом, уравнение высоты BD имеет вид y = 4x - 8.

Наконец, найдем угол при вершине C треугольника ABC. Этот угол можно найти с помощью косинусов известных сторон треугольника:

cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

где a, b, c - длины сторон треугольника против вершин A, B, C соответственно. Найдем длины сторон:

AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((3 - (-2))^2 + (4 - 2)^2) = √(25 + 4) = √29
BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((2 - 3)^2 + (1 - 4)^2) = √(1 + 9) = √10
AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((2 - (-2))^2 + (1 - 2)^2) = √(16 + 1) = √17

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла C:

cos(C) = (29 + 10 - 17) / (2 √29 √10)
cos(C) = (22) / (2 √29 √10)
cos(C) = 22 / (2 * √290)
cos(C) = 11 / √290

Угол C равен arccos(11 / √290).