Давайте обозначим:

гипотенузу треугольника как ( c ),меньший катет как ( a ) (так как один из углов равен 60°, второй катет будет ( b )).

Согласно условию задачи, у нас есть следующее уравнение:

[
c + a = 30 \quad (1)
]

Также, поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с углом в 60°, мы можем использовать соотношения сторон. В прямом треугольнике с углом 60°:

меньший катет (( a )) равен ( c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} )больший катет (( b )) равен ( c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} )

Таким образом, меньший катет можно выразить через гипотенузу:

[
a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (2)
]

Теперь подставим выражение для ( a ) из уравнения (2) в уравнение (1):

[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30
]

Соберем ( c ) в одном выражении:

[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30
]

Теперь найдем сумму:

[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 30
]

Теперь умножим обе стороны на 2:

[
c(2 + \sqrt{3}) = 60
]

И разделим обе стороны на ( 2 + \sqrt{3} ):

[
c = \frac{60}{2 + \sqrt{3}}
]

Теперь можно выразить гипотенузу ( c ):

[
c = 60 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 60 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 60(2 - \sqrt{3}) = 120 - 60\sqrt{3}
]

Теперь можем вычислить ( c ):

Приблизительно ( \sqrt{3} \approx 1.732 ):

[
c \approx 120 - 60 \cdot 1.732 \approx 120 - 103.92 \approx 16.08 \text{ см}
]

Таким образом, гипотенуза ( c \approx 16.08 \text{ см} ).