Прямая призма состоит из двух оснований и четырех боковых граней.

Площадь оснований:
Основание призмы — это прямоугольник ABCD. Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле:
[
S{основания} = AB \times AD = 7 \times 12 = 84.
]
Так как основание состоит из двух равных прямоугольников, общая площадь оснований будет:
[
S{оснований_всего} = 2 \times S_{основания} = 2 \times 84 = 168.
]

Площадь боковых граней:
Боковые грани призмы — это четыре прямоугольника:

Грань AABB1 имеет размеры AB и AA1:
[
S_{AABB1} = AB \times AA1 = 7 \times 5 = 35.
]Грань BCC1B1 имеет размеры BC и BB1. Поскольку основание ABCD прямоугольное, длина BC равна AD:
[
S_{BCC1B1} = AD \times AA1 = 12 \times 5 = 60.
]Грань CCDD1 имеет размеры CD и CC1, где CD также равно AB:
[
S_{CCDD1} = AB \times AA1 = 7 \times 5 = 35.
]Грань DAA1D1 имеет размеры DA и AA1, где DA равно AD:
[
S_{DAA1D1} = AD \times AA1 = 12 \times 5 = 60.
]

Суммируем площади всех боковых граней:
[
S{bоковых_граней} = S{AABB1} + S{BCC1B1} + S{CCDD1} + S_{DAA1D1} = 35 + 60 + 35 + 60 = 190.
]

Общая площадь всех граней призмы:
Теперь складываем площади оснований и боковых граней:
[
S{всего} = S{оснований_всего} + S_{bоковых_граней} = 168 + 190 = 358.
]

Таким образом, сумма площадей всех граней призмы равна:
[
\boxed{358}.
]